L'importanza della comprensione profonda dei concetti matematici

Dai primi numeri e dalle prime operazioni, fino agli studi di funzione, siamo abituati a insegnare nomi e procedure... ma cosa significano davvero?

In questo approfondimento analizziamo l'importanza dei processi semantici per comprendere e insegnare la matematica.

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In questo episodio:

00:00 Introduzione
06:33 Comprendere in profondità la matematica
17:38 Prima si comprende il significato, poi si dà un nome
32:37 Sviluppare una mentalità matematica

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Comprendere in profondità la matematica

Nel modello di sviluppo delle abilità di calcolo proposto da Daniela Lucangeli e altri colleghi nel 2009 i processi semantici hanno un ruolo basilare. Si tratta della comprensione profonda dei significati della matematica: i concetti di numerosità, di maggiore e minore, ecc. 

È su queste conoscenze che si vanno poi a costruire le conoscenze lessicali (le etichette che diamo, ad es. "3", "tre" e il suono tre) e quelle sintattiche e pre-sintattiche (ad es. il diverso valore che assume il "3" a seconda della posizione in cui si trova, 3 unità se è nella posizione più a destra, 3 decine se è nella seconda posizione, ecc.).

Solo dopo, a partire dai processi semantici e dalle competenze sintattiche, si prosegue nello sviluppo delle abilità di calcolo passando al conteggio, al calcolo a mente e al calcolo scritto. Come vedete in questo modello i processi semantici sono alla base di tutto: se un alunno non ha interiorizzato il significato profondo dei processi matematici che gli sono richiesti non riuscirà a interiorizzarli correttamente ed esprimere il suo potenziale.

Per questo bisogna sempre domandarsi se un alunno che fa fatica in matematica ha compreso davvero il significato di quello che sta facendo: sa cosa significa sommare due numeri? sa cosa significa dividere un numero per un altro? sa cosa significa una tabellina? Oppure ha solo imparato una procedura senza comprendere a cosa corrisponde?

Non è mai troppo tardi per lavorare sui processi semantici. Perfino da adulti si possono recuperare i significati delle operazioni matematiche e padroneggiarle meglio. Per cui, ogni volta che riconosciamo delle lacune semantiche, è bene fermarsi e recuperarle piuttosto che continuare a introdurre concetti che l'alunno non riuscirà a interiorizzare davvero.

Prima si comprende il significato, poi si dà un nome

Per capire cosa si intende per significato, prendiamo ad esempio il numero tre. Come possiamo insegnare il significato del tre a un bambino?

• Per prima cosa si possono mostrare tre dita (pollice, indice e medio) e pronunciare "tre". 
• Poi si possono cambiare le dita (ad es. pollice, indice e mignolo): il bambino comprende che il significato di "tre" non ha a che fare con quali dita vengono alzate.
• Poi si possono prendere tre matite: il bambino comprende che il significato di "tre" non ha a che fare con le dita.
• Poi si possono cambiare i colori delle matite: il bambino comprende che il significato di "tre" non ha a che fare con il colore.

Pian piano, a partire dall'esperienza reale, il bambino astrae il significato di "tre". Solo dopo potremo introdurre il segno grafico "3", ovvero il processo lessicale.

Lo stesso processo si deve applicare anche proseguendo con l'apprendimento della matematica. Anche la somma, ad esempio, può essere compresa prima ancora di introdurre la parola "somma".

• Il bambino può contare le palline presenti in un cerchio (ad es. 4) e quelle presenti in un cerchio vicino (ad es. 2).
• Poi gli si può chiedere di contare quante sono in totale, dunque comincerà il conteggio delle prime quattro e poi si sposterà nel secondo cerchio proseguendo il conteggio: cinque, sei. 

Anche in questo caso non siamo partiti da regole o concetti astratti, ma dall'esperienza reale. Così il bambino apprenderà prima il processo semantico.

Fino a questo punto è facile comprendere il meccanismo e introdurlo nella didattica, ma spesso interrompiamo il processo a mano a mano che il programma si fa più complesso.

Sviluppare una mentalità matematica

Un articolo di Jo Boaler, docente e ricercatrice della Stanford University, dal titolo Developing Mathematical Mindsets ci offre una spiegazione più scientifica di quanto stiamo dicendo.

Jo Boaler cita uno studio condotto su studenti tra i 7 e i 13 anni, divisi in due gruppi in base ai loro risultati in matematica. Questo studio ha osservato che la principale differenza tra i due gruppi era che quelli con prestazioni migliori interagivano con il "senso del numero", in maniera flessibile e concettuale; invece quelli con prestazioni peggiori credevano che il loro compito fosse solo di richiamare alla memoria delle procedure standard.

Un esempio citato è l'operazione 21-6. Gli studenti con più competenze la trasformano immediatamente in 20-5 arrivando in fretta al risultato, mentre gli altri applicano la procedura standard del conteggio all'indietro nella quale, però, si creano più possibilità di sbagliare. 

L'atteggiamento degli studenti meno brillanti è restare ancorati alla procedura e applicarla a tutti i costi. Nella loro testa la matematica consiste nel memorizzare una serie di procedure, richiamarle alla mente e applicarle, indipendentemente dalla comprensione profonda di quello che sta avvenendo.

Spesso a questi alunni vengono assegnati più esercizi per fare più pratica, ma questo ha il risultato di cementare una concezione della matematica in cui il successo corrisponde con la memorizzazione delle procedure.

Il matematico William Thurston, vincitore della medaglia Fields (il più importante riconoscimento riservato ai matematici insieme al premio Abel), ha detto che le conoscenze matematiche sono incredibilmente comprimibili: all'inizio si fatica e si ha la sensazione di dover tenere a mente moltissime informazioni, ma nel momento in cui si raggiunge una comprensione profonda di quello che sta avvenendo tutto prende senso e finisce per occupare pochissimo spazio nel nostro cervello.

Questa compressione si raggiunge attraverso la manipolazione mentale dei concetti, attraverso lo sperimentare strategie, sbagliare e poi trovare la strada giusta. E quando si arriva a comprendere il senso profondo si sprigiona un senso di gioia e piacere nel fare matematica.

Questa gioia noi la vediamo tutti i giorni nei bambini, che si illuminano nel momento in cui capiscono il funzionamento di un processo matematico. 

Il nostro cervello, però, può comprimere solo i concetti, non le regole o le procedure. Ecco un altro motivo per insistere meno sulle procedure e più con i processi semantici.

Un effetto positivo è anche la riduzione dell'ansia che si crea quando un alunno pensa alla matematica come a quella materia in cui bisogna memorizzare e richiamare alla mente una grande quantità di procedure. Concepire la matematica in questo modo può schiacciarci e demoralizzarci per via dell'enorme quantità di informazioni da ricordare. Ma l'ansia scompare quando si raggiunge il significato profondo dei concetti matematici: perché all'improvviso quei concetti occupano molto meno spazio nella testa e l'alunno ha raggiunto la consapevolezza che la matematica può essere manipolata nella sua testa per raggiungere il risultato. 

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Link utili:

- Per scoprire, scaricare e stampare le Carte di Biella Cresce: https://www.biellacresce.it/carte

- Jo Boaler, Developing Mathematical Mindsets https://www.aft.org/ae/winter2018-2019/boaler

- Jo Boaler, What is Number Sense https://youtu.be/wxE2Kur4AHc